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Question

(A) माना $P(x_1, y_1)$ वक्र $y = f(x)$ पर एक बिंदु है।माना $m = \frac{dy}{dx}$ बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल है।उपस्पर्शरेखा की लंबाई $\left| \frac{y

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$\sqrt{2} 	imes 	ext{कोटि (ordinate)}$

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(A) माना $P(x_1, y_1)$ वक्र $y = f(x)$ पर एक बिंदु है।माना $m = \frac{dy}{dx}$ बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल है।उपस्पर्शरेखा की लंबाई $\left| \frac{y_1}{m} ight|$ द्वारा और अभिलंब (subnormal) की लंबाई $|y_1 m|$ द्वारा दी जाती है।यह दिया गया है कि उपस्पर्शरेखा और अभिलंब बराबर हैं,इसलिए:$\left| \frac{y_1}{m} ight| = |y_1 m|$$\Rightarrow \frac{1}{|m|} = |m|$$\Rightarrow m^2 = 1 \Rightarrow m = \pm 1$.बिंदु $P$ पर अभिलंब (normal) की लंबाई $|y_1| \sqrt{1 + m^2}$ द्वारा दी जाती है।$m^2 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$	ext{अभिलंब की लंबाई} = |y_1| \sqrt{1 + 1} = |y_1| \sqrt{2} = \sqrt{2} 	imes 	ext{कोटि}$.

यदि किसी वक्र पर किसी बिंदु पर उपस्पर्शरेखा (subtangent) और अभिलंब (subnormal) बराबर हैं,तो अभिलंब (normal) की लंबाई किसके बराबर है?

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वक्र $y=x^3$ पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा,बिंदुओं $(-1, -1)$ और $(2, 8)$ को मिलाने वाली जीवा के समांतर है।

वक्र $\sqrt{xy} = a + x$ पर उस बिंदु का भुज (abscissa) ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा निर्देशांक अक्षों से समान अंतःखंड काटती है $(a > 0)$।

किसी वक्र के किसी भी बिंदु पर सबनॉर्मल (subnormal) की लंबाई हमेशा स्थिर रहती है। तो,वह वक्र . . . . . . है।

वक्र $y = 2 + \sqrt{4x + 1}$ पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{2}{5}$ है।

वक्र $y=\frac{2}{3} x^3+\frac{1}{2} x^2$ पर वे बिंदु,जहाँ स्पर्श रेखाएँ निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती हैं,हैं

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